前一阵，关于8×3 是否等于 3×8——更准确地说，是8×3 是否可写为 3×8在网上炸窝了。
新华社公众号、人民日报公众号、南方周末、新京报、中科院物理所的公众号，都刊登了不少讨论文章。而且，不少文章的留言区里都吵成了一锅粥。
这件事情的起因在于——“辅导作业的家长直呼不明白：明明结果是一样的，顺序有这么重要吗？”是啊，明明“3×8”还是“8×3”最后结果都是24，为什么要区分顺序？
网上贴出了对此问题一位数学教师给出的解释：
有人将这个问题反馈到人民教育出版社教材反馈平台，人教社也给出了反馈：
“这种符号表达的意义是唯一的，特别是在有具体情境的时候。”
“这种符号表达的意义是唯一的，特别是在有具体情境的时候。”
展开剩余88%今天，王珏老师结合学习科学视角，对此作一点解读，供大家参考。不当之处，请大家批评指正。
一、如果关心二者“结果等不等”的话，显然8×3 = 3×8
或者说，如果仅从“算术”视角的话，二者的计算结果是相等的。
二、如果问的是两种写法是否完全等价的话，也就是两个算式所承载的“内涵”是否完全相同，那肯定是不一样的。
网上有一个例子，我觉得挺有说服力：你本来想买5两的大闸㙰3只，结果人家给你寄来3两的大闸㙰5只，你肯定不干！
我自己也想了个例子：灌蛋的时候，你抓8个3、另一个人抓了3个8，那差别可大了去了！
再比如：两伙年青人打架，都是24人，一边一次派8个人上场（共3组），一莲一次派3个人上场（共8组），大家都知道谁会赢。
这就是人教社官方答复的那个意思：
“这种符号表达的意义是唯一的，特别是在有具体情境的时候。”
“这种符号表达的意义是唯一的，特别是在有具体情境的时候。”
（很多人看不懂这句话，这很正常，因为人脑对概念的理解是相当困难的。这也提示专业工作者——包括人教社、科研工作者、也包括老师，在向“小白”解释一件事情的时候，“言简意骇”往往意味着“对牛弹琴”！）
作为从学习科学角度进行探讨的文章，王珏老师要多说一句：
这里的“内涵”是哲学术语，内涵和“外延”是描述“概念”的两个属性。
这里的“内涵”是哲学术语，内涵和“外延”是描述“概念”的两个属性。
所谓“概念”，是一类具有共同特征的事物的符号化表示（比如“树”、“乘法”），人脑中如何形成概念的，可参考《》
本质上，一切语言文字都是“概念”，人类对一切事物、规律的认识和表达，都必须要基于“概念”。
而概念的“内涵”，简单说，就是指决定这个概念之所以成立的那些“关键特征”、“本质属性”。
比如，“乘法”是个概念，它由“被乘数”、“乘数”、“积”构成（它们也都是概念），其关系为“被乘数” × “乘数” = “积”。
以前教材上不区分“被乘数”和“乘数”时，那就要给它们另外起一个概念，比如“因数”或统一叫”乘数“之类的——概念就是这样，知识必须依托于概念，没有概念是不可能形成知识的。
三、如果问的是两种写法哪种“算作”正确，那就要看“人为规定”
据有人考证，对于乘法的表示，在全世界范围内，既有规定前面是每份数量、后面是份数的（比如国内2000年前的教材），也有反之的（美国教材，见下图），据说也有没有规定、随便怎么写的（比如国内2000~2024年的教材）。
补充一下，该教材随后又引入了矩阵的概念，用形象化的方式，说明了“乘法交换率”，即：从计算结果上5×4 = 4×5（见下图）：
可见，“每份数”写在前面、还是“份数”写在前面，就是个“人为规定”——在知识论中称为“事实性知识”，它没有什么特别的道理，只是大家约定俗成（当然历史沿革总是有的，另外多多少少会有一些考量）。
四、时而区分、时而不区分，体现的是对“数学思维”要求的变化
为何20多年前的教材区分乘数、被乘数，后来不区分了，最新的教材又区分了呢？
20多年前的教材从”区分“改为”不区分“，原因可能是想给学生”降低难度“。比如，中科院 张景中院士就明确发表过这样的观点：
考虑到小学生的认知特点，对于可区分、也可不区分的，不妨降低一点难度，并不会影响他后面的学习。
考虑到小学生的认知特点，对于可区分、也可不区分的，不妨降低一点难度，并不会影响他后面的学习。
最近为什么又突然改为“区分”了呢？我个人认为，可能是新课标中更强调“数学思维”、而非简单的“数学计算”。从数学思维的角度、或者说从“概念内涵”的角度，区分显然更加符合背后的数学思维的要求。
至于区分、还是不区分好呢？
如果从降低难度的角度，不区分也是可行的（前20年的教材就是这样做的）。毕竟，即便是小学生，也是很容易理解8个3和3个8表达了不同的事物，只不过是“如何书写”的问题而已。
而且，即便将来学到物理、化学时，要求按照顺序书写，人脑也有足够的适应性。区分、或不区分，对于人脑来说并不构成大的阻碍。
不过，如果从数学思维的角度（这是“新课改”中强调的），当然是区分好。
而且，王珏老师一直认为：无论多么“难”的知识，只要老师处理得当，对学生一般不会构成大的思维阻碍。
我猜想：对于小学生来说，8个3和3个8的实质是不同的，这应该容易分得清（也就是能理解“概念”的实质），问题可能出在：有些孩子容易把8个3写为 8×3，这应该是受到语言表述习惯与数学符号书写顺序不同的影响。
——至于国内教科书为什么要规定“8个3”要写为 3×8，这个就只能当“事实性知识”来记忆了，它也谈不上有什么必然性，就是个“规定”。
而且，这个规定本身也谈不上多难，如果孩子出错了，改正就是了，最多有个三五次，怎么也改过来了。
也就是说，无论是区分、还是不区分，无论规定为3×8、还是8×3，这些对学生来说都不是什么大事，只要老师处理得当，学生足以理解概念的（思维）实质、稍加克服也足以准确掌握写法。
五、对老师和教学的启示
王珏老师认为，这次在网络上引发热议的主要原因，也许并非这个知识本身是否正确、是否合理，而是老师没有向学生、甚至也没有向家长解释清楚其实质，只是简单地告知“规定”！
这也正是老师教学时，最常犯的错误：
老师把教材上一切都看成是“规定”，老师的教学目的是向学生“传递”这种规定，而无法向学生、甚至也无法向家长解释清楚知识的思维实质，把“概念性知识”降级为“事实性知识”，主要靠学生大量记忆、大量刷题，教学绩效不高是可以想见的。
老师把教材上一切都看成是“规定”，老师的教学目的是向学生“传递”这种规定，而无法向学生、甚至也无法向家长解释清楚知识的思维实质，把“概念性知识”降级为“事实性知识”，主要靠学生大量记忆、大量刷题，教学绩效不高是可以想见的。
而且，王珏老师从学习科学角度来看国内的教育，各个学科基本都是“以记忆为主、以理解为辅”的，其中也包括数学。
因为，很多老师对促进学生思维中“概念形成/概念理解”的办法不多——有时是老师本身就没把思维讲清楚，有时是老师无法让学生脑子中真正发生概念形成的过程。无论大中小学，老师讲破嘴，学生一脸茫然，是非常普遍的现象。最终的效果往往是“以记忆代替理解”，教学绩效低下。
当然，要想让学生真正理解一个“概念”背后的思维实质，确实是非常困难的。著名的认知心理学家、建构主义奠基人维果茨基有一句著名的断言——概念的直接传递是不可能的，应该时刻给我们以警醒！
在这方面，美国的教材确实值得学习，以下这篇文章推荐给数学老师看看（也可以学习怎样让一个思想“跑”到学生脑子里）：
可以说，帮助学生建立深度的“概念性理解”——而不是解题方法——是整个教学过程最为关键之处！详见我的文章：
【本文小结】
8×3还是 3×8，既有其思维的必然性（概念性知识），也有书写的规定性（事实性知识）。
从学科知识本质角度，老师应提高学科研究深度，从学科本质层面建立理解——而不是像“浮萍”一样，随着教材、教改之风到处摇摆。教材往往每10年就会变一次，因此教材并不是“根”，老师自己的学科理解才是真正的“根”！
从教学方法和知识表述方法角度，老师应该找到能帮助学生脑袋中切实发生“思维过程”、帮助学生建立对概念“深度理解”的有效方法。按照教材上“照本宣科”、把一切都降级为“规定”、“事实性知识”，教学绩效必然低下！
如何促使学生发生“知识建构”的思维过程、建立起深度的“概念性理解”，是新课改的迫切要求，对老师的学科素养、教学方法都有着较高的要求。
发布于：北京市诚信双盈配资提示：文章来自网络，不代表本站观点。
